《高等代数》白皮书，例1.4，爪形行列式

刚刚值完班，人很疲惫，也不太想动，所以想写写东西。工作以来，遇到许多事情，各种鸡零狗碎。唯一能让人保持清醒的就是《数学分析》和《高等代数》。所有的事物都会骗人，就数学不会。
If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.

von Neumann

在我看来，von Neumann确实说的特别对。最近看了谢启鸿老师的《高等代数》（第四版），也就是是数学系同学们传说中的白皮书，也就是下面这本，目前这本是最新版的：

书中的题目很多其实挺难的。笔者打算阅读该书过程中，遇到的一些题目的解法的详细过程分享出来。在数学领域，从不奢望有太大的建树，但是希望能多学一些，多一些见识。在Cnblogs上写下，也当做是生活中的一种记录。

有个段子，据说当年英女王 Alexandrina Victoria 看过《爱丽丝梦游仙境》后非常喜欢，吩咐如果作者有新作要给她送来一本。然后女王等到了——《行列式基础论述》(原名：An Elementary Treatise on Determinants, With Their Application to Simultaneous Linear Equations and Algebraic Equations)。 Lewis Carroll , 英国作家，数学家，逻辑学家。今天要讨论的正是行列式。

在第7页，例1.4中，有一题：
（爪行行列式）计算 n 阶行列式，其中 _a i_≠0 (2≤ i ≤ n)：

\[{\huge \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}& \cdots &{{b_n}}\\
{{c_2}}&{{a_1}}&0& \cdots &0\\
{{c_3}}&0&{{a_3}}& \cdots &0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
{{c_n}}&0&0& \cdots &{{a_n}}
\end{array}} \right|} \]

这题中，加了条件 _a i_≠0 (2≤ i ≤ n)，因此题目解起来很容易：从第2列开始直到第 n 列，把第 i 列(2≤ i ≤ n) 乘以并加到第一列上，这样的话，第一列的 c 1, c 2, .. , _c n_都被消去成0，即：

\[{\huge \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a1}{\rm{ - }}\sum\limits{i = 2}^n {\frac{{{b_i}{c_i}}}{{{a_i}}}} }&{{b_2}}&{{b_3}}& \cdots &{{b_n}}\\
0&{{a_1}}&0& \cdots &0\\
0&0&{{a_3}}& \cdots &0\\
\vdots & \vdots & \vdots &{}& \vdots \\
0&0&0& \cdots &{{a_n}}
\end{array}} \right|} \]

那么上述行列式化为上三角行列式，其结果为对角线元素的乘积：

\[{\huge \begin{array}{l}
\left| A \right| = ({a1}{\rm{ - }}\sum\limits{i = 2}^n {\frac{{{b_i}{c_i}}}{{{a_i}}}} ){a_2}{a_3} \cdots {a_n}\\
\;\;\;\;\; = {a_1}{a_2}{a_3} \cdots {an}\; - \;\sum\limits{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}
\end{array}} \]

（其中表示\({\hat a_i}\)不在∑后面的连乘式中）；

本来解到这儿，已经算是松口气了。但是原题目后面后面还有一个Remark：

“去掉条件 _a i_≠0 (2≤ i ≤ n)，我们仍可以求出：

\[{\huge \left| A \right| = {a_1}{a_2}{a_3} \cdots {an}\; - \;\sum\limits{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}}\]
”

具体的做法是谢老师也给出，“例如 a i=0，则先按 _c i_所在的行进行展开，再按 _b i_所在的列进行展开，即得出结论”。当时看到这儿觉得挺神奇的， a i=0的话，也可以得出 _a i_≠0一样的结论，尝试着进行推导，算了很久，也没算出来，终于在一个不眠之夜算出来了。

设某个 a i=0（只有一个）：

\[{\Large \begin{array}{l}
{a_i} = 0,\forall j = i,{a_j} \ne 0\\
\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_2}}&{{b3}}& \cdots &{{b{i - 1}}}&{{{\color{Red} bi} }}&{{b{i + 1}}}& \cdots &{{b_n}}\\
{{c_2}}&{{a_2}}&0&0&0&0&0&0&0\\
{{c_3}}&0&{{a3}}&0&0&0&0&0&0\\
\vdots &0&0& \vdots &0&0&0&0&0\\
{{c{i - 1}}}&0&0&0&{{a_{i - 1}}}&0&0&0&0\\
{{{\color{Red} c_i} }}&0&0&0&0&{{ai}}&0&0&0\\
{{c{i + 1}}}&0&0&0&0&0&{{a_{i + 1}}}&0&0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
{{c_n}}&0&0&0&0&0&0&0&{{a_n}}
\end{array}} \right|
\end{array}} \]

上述的|A |确实很复杂，按书本上的提示，则先按 _c i_所在的行进行展开，再按 _b i_所在的列进行展开。其中，很关键的一个是按 _b i_所在的列展开，** b i是 i -1**列，而不是第 i 列，要不然算到猴年马月，都算不出来。依上述所示，那么原行列式等于：

\[{\Large \begin{array}{l}
\left| A \right| = {( - 1)^{i + 1}}{c_i}{( - 1)^{1 + i - 1}}{b_i}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_2}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{{a3}}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}& \cdots &{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{{a{i - 1}}}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{{a_{i + 1}}}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \cdots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{a_n}}
\end{array}} \right|\\
\;\;\;\;\; = - {c_i}{b_i}{a_2}{a3} \cdots {a{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}
\end{array}} \]

注意上述最后的结果，可以写成：

\[{\Large \begin{array}{l}
\left| A \right| = \; - {a_2}{a3} \cdots {a{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i}\\
\;\;\;\;\;\; = \;\;({a_1}{a_2}{a3} \cdots {a{i - 1}}{\color{Red} 0} {a_{i + 1}} \cdots {a_n})\;\;\\
\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;- ({a_3}{a4} \cdots {a{i - 1}}{\color{Red} 0} {a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i})\;\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;- \cdots - ({a_2}{a3} \cdots {a{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i})\;\\
\;\;\;\;\; = {a_1}{a_2}{a_3} \cdots{\color{Red}a_i} \cdots{an}\; - \;\sum\limits{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}
\end{array}} \]

QED.

上述是在某一个 a i=0的情况下算出来的，如果有多个 a i=0的情况，那计算过程可能有点不太一样。有空再写一下，今晚先告一段落。虽然会失眠，但还是要让自己睡下去。