Math in CG

1.Vector

（1）vector

函数api：

• GLSL：

  • vec2、vec3、vec4

• HLSL：

  • float2、float3、float4

向量的模：

• 一般在两边各加两条竖线表示

\[||\vec{v}|| \]

（2）dot product

点积，别名：内积、数量积

代数定义：

Vec2：

\[u=(a,b) \ \ \ \ v=(x,y) \\u\cdot v=ax+by \]

Vec3：

\[u=(a,b,c) \ \ \ \ v=(x,y,z) \\u\cdot v=ax+by+cz \]

几何定义：

\[\vec{u}\cdot \vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot cos\theta \]

可以求某向量在一个方向上的投影 -- 注意：点积的几何意义只适用于3维以内，高维只有代数定义

二维证明:已知点乘的几何意义,利用三角函数和角公式,cos(θ)=cos(α1-α2)=cosα1·cosα2+sinα1·sinα2=ax+by

Wiki百科证明 - 任意n维：

\[\vec{u}\cdot \vec{u}=||\vec{u}||^2 \\ 令:\vec{c}=\vec{a}-\vec{b} \\ 向量: \vec{c}\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot\vec{b} \\ ⬆️这个不等式的前提:向量的*方是点积【或者理解为点乘自身,然后点乘具有分配律】 \
向量的模:||\vec{c}||^2=||\vec{a}^2||+||\vec{b}^2||-2||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||\cdot cos\theta \\ 或者写成:c^2=a^2+b^2-2abcos\theta \\ \because \vec{c}^2=||\vec{c}||^2 \\ \therefore \vec{a}\cdot \vec{b}=||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||\cdot cos\theta \]

api函数：

• GLSL：float dot(vec_n, vec_n);
• HLSL：float dot(float_n, float_n);

拓展：点积可以写成矩阵乘法形式（数学做题中出现）

• 可以将其中一个向量进行转置（取决于将向量视为行矩阵还是列矩阵）

\[a\cdot b=ab^T \]

（3）cross product

代数定义：

Vec3：

\[u=(a,b,c) \ \ \ \ v=(x,y,z) \\u\times v=(bz-cy,cx-az,ay-bx) \]

PS：叉乘可以写成行列式，但其中一行是向量而不是常数，所以叉乘的结果是向量，而不是一个数

几何定义：

• 叉乘结果是一个向量 ，该向量正交于执行叉乘的两个向量

  • 证明:正交就是两分量夹角为90度,那么可以通过点乘进行证明

• 叉乘的行列式：刚好是以uv为邻边的*行四边形的面积

\[||u\times v||=||u||\cdot||v||\cdot sin\theta \]

“Vec2”：

二维有叉乘吗？严格意义来讲，没有。叉乘的定义：两个向量叉乘结果是一个与该两个向量正交的向量，因此在二维空间中，不存在这种向量，不具有几何意义。

\[u=(a,b) \ \ \ \ v=(x,y) \\u\times v=(ay-bx) \]

但我们仍然可以进行这种计算，因为计算的结果是有意义的，(ay-bx)确实能够代表u和v之间的夹角θ的sin值

证明:已知点乘的几何意义,利用三角函数和角公式,sin(θ)=sin(α1-α2)=sinα1·cosα2-cosα1·sinα2=ay-bx

api函数：

• GLSL：vec3 cross(vec3, vec3);

  • ⚠️GLSL的cross函数只支持vec3的叉积操作

  • 为支持vec2叉积，我们可以这么写：

  • float res = cross(vec3(uv1, 0.0), vec3(uv2, 0.0)).z;

• HLSL：float3 cross(float3, float3); -- 好像支持float2? whatever~

  dot/cross product中涉及交换律/结合律等太简单了,用的时候自己推即可

（4）其他函数

*：

• GLSL/HLSL：都是逐分量相乘

正交化：

• GLSL：vec_n normalize(vec_n);
• HLSL：float_n normalize(float_n);

模：

• GLSL：float length(vec_n);
• HLSL：float length(float_n);

※（5）格拉姆-施密特正交化

格拉姆-施密特正交化的作用：已知向量集{…}，对其正交化处理，得到互相正交的新的向量集

算法步骤：依次加入向量，将当前向量减去该向量对已在正交向量集里向量的投影

（6）深入探讨：叉乘、点乘

叉乘

• 叉乘交换顺序，结果变反

  • \[A\times B=-B\times A \]

  • 容易证明：叉乘可以写成行列式的形式，那么交换AB的顺序相当于交换行列式中两行，那么结果变反

• 特殊向量参与叉乘运算

  • 单位向量 – 没有特殊性

\[A\times I=(y-z,z-x,x-y) \]

* 0向量

\[A\times0=0 \]

* 同一向量之间

\[A\times A=0 \]

易证：行列式两行相等，结果为0

• 向量三重积 <=> 叉乘不满足结合律

  • \[A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B) \\ \neq (A\times B)\times C \]

  • 向量叉乘为什么不满足交换律：

    • TODO，叉乘的结果的模相同吗？

  • 向量三重积多种证明方式：

    • 推导1：向量运算推导

B×C得到垂直于BOC*面的向量(假设为D)，所以说与T垂直的向量一定在BOC*面中，那么任意向量与D叉乘的结果(假设为K)，首先一定是垂直于D的，那么K一定在BOC*面内，那么得到公式

\[A\times (B\times C)=mB+nC \ \ \ \ (m,n\in R) \]

我们对等式两边同时点乘A：

\[A\cdot (A\times D)=A\cdot (mB+nC) \\ A\cdot (A\times D):标量三重积,因两分量相同,所以值为0 \\ mA\cdot B+nA\cdot C=0 \]

假设：

\[m=pA\cdot C \ \ \ \ n=-pA\cdot B \ \ \ \ p\in R \\ \therefore A\times (B\times C)=p(A\cdot C)B-p(A\cdot B)C \]

这种假设刚好使等式成立，所以说恒等式中未知数只剩p，我们可以带入特殊向量求p的值

带入不互相正交的向量，比如：

\[A=(1,1,0) \ \ \ \ B=(1,0,0) \ \ \ \ C=(0,0,1) \]

=> 推导出p=1，所以推导成功

                    这里推导mn与p的关联性时不太严谨,这里将m与n转换为p,其实用到了m/n=-(A`B)/(A`C),这里没有考虑分母为0的情况,所以应该额外单独讨论


  * 推导2：结合矩阵推导

    * 推导前提：**向量之间的点乘和叉乘，我们都可以转换为矩阵的形式** \-- 叉乘不满足结合律，但矩阵乘法满足结合律

（前提：我们将向量看作是列向量）

点乘 ：A向量与B向量的点乘 = A的”转置矩阵”与B矩阵的矩阵乘法

\[A\cdot B=A^TB \]

叉乘 ：A向量与B向量的叉乘 = A的”叉乘矩阵”与B矩阵的矩阵乘法

叉乘矩阵可以通过叉乘实际结果逆推

\[A\times B=A^\times B \\ A^\times =\begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix} \]

标量乘法 ：常数a与向量B的乘法 = 常数写成矩阵

\[aB=A^TB \ \ \ \ A=\begin{bmatrix} a \\ a \\ a \end{bmatrix} \]

                            这里有一个问题：若把常数a直接写成两个矩阵(C·D)的乘法，那么这两个矩阵与B矩阵的运算符是什么？也是矩阵乘法？？？那么是否可以通过结合律为这三个矩阵进行不同的组合
            aB=(C·D)B=?=C(D·B)
            解析：答案是不行 ❌
            常量与向量的乘法是标量乘法，而向量与向量的乘法是点乘，这个不能混为一谈


      * 推导：

\[A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B) \\ A^\times B^\times C=B(A^TC)-C(A^TB) \\ 注意:等式右侧是标量乘法,所以不能通过结合律随意组合 \\ (A^\times B^\times + A^TB)C=B(A^TC) \]

左侧C前面的系数我们可以计算出来：

\[A^\times B^\times= \\ A^TB \]

TODO：这种证明方法有错，待研究🧐

• • 标量三重积
  • 可以写成矩阵形式 - TODO

2.Matrix

（1）matrix

函数api：

• GLSL：

  • mat2、mat3、mat4 -- 其他：mat2x3等…

  • 获取分量方法：m[0][1]类似二维矩阵的方式

  • ⚠️比较反人类，特别注意 ：

    • GLSL以 列 为主序，这句话有如下影响：

    • mat2x3：是2列3行矩阵

    • 分量获取也是按照先列后行，m[0][1]：第0列第1行

    • 矩阵构造时也是按行构造：

      • 举例：二维旋转矩阵M

\[M=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \]

      * 对应glsl代码：`mat2 M = mat2(c, s, -s, c);`

• HLSL：

  • float2x2、float3x3、float4x4 -- 其他：float2x3等..
  • 初始化：矩阵初始化以行为主序 -- 同Eigen库
  • 同上例：mat2 M = mat2(c, -s, s, c);

⚠️（2）vec * mat

向量与矩阵的乘法：

• 首先明确一点：无论是哪种api，左边矩阵提供的都是行，右边矩阵提供的都是列

• 那么为什么会出现左乘和右乘矩阵的区别 ：是因为不同api对向量的理解不同！

  • GLSL：向量被看作列矩阵 ， 【🧠这里很好记忆，因为矩阵也是”列”主序，所以其实向量和矩阵的构造函数是相通的】 ，所以它只能放在矩阵乘法右侧，所以变化矩阵需要左乘

    • 这里有一个容易产生混淆的地方：GLSL是列主序，所以到底是怎么相乘的，举例说明：

    • \[M=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \]

    • // GLSL: mat2 m = mat2(1, 2, 3, 4); // 以列主序构造 vec2 v = vec2(10, 20); vec2 res = m * v; // res:(1*10+3*20, 2*10+4*20)

      // 所以可以看出,尽管由列主序构,但并没有说这里的列就等价于了HLSL的行
      

      • 变化矩阵综合：T*R*S

问题1：左乘或右乘会影响相同变化矩阵的描述吗？如果会影响，当前推导的公式是基于哪种乘法呢，如何对齐左乘与右乘？

比如说我们知道如果一个变化是线性变换，那么它的矩阵表示中每行是对单位基向量做相同的变换，那么这个是基于右乘的前提？

=> 是的，是基于右乘的前提，推导线性变换时，我们是将对应乘法，转换成了矩阵形式：

\[\tau(\textbf{u})=x\tau(\textbf{i})+y\tau(\textbf{j})+z\tau(\textbf{k})=\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} {\color{Red} \begin{bmatrix} \gets \tau(\textbf{i}) \to \\ \gets \tau(\textbf{j}) \to \\ \gets \tau(\textbf{k}) \to \end{bmatrix} } \]

所以我们这里其实默认了，坐标或者说向量是以行向量的形式存在， 【因为线性变换的推导是HLSL教材上得来】

那么我们是否可以得出结论：如果我们在这里将向量看成列向量，那么左乘的变化矩阵，其实它的每一列是对标准基向量的同等变换！

所以如何对齐？所以很巧合的是，左乘的api又要求用行向量构造矩阵，所以矩阵初始化时其实连续的片段是有意义的，并没有分隔开；更甚者，我们直接在向量为行向量下推导出矩阵，然后假装自己不知道GLSL是以列为主序这么书写进去，结果是正确的！=> 所以说很多公式或博客其实并没有说明左乘右乘以及api的影响，只是它碰巧就这么对了～

所以我们看到部分博客中旋转矩阵是反的，因为左乘右乘的变化矩阵互相为转置矩阵！！！

TODO：验证shadertoy旋转：https://www.shadertoy.com/view/DsKSDm

（3）matrix multiplication

\[A{m*n}*B{n*p}=C{m*p} \\c{ij}=\sumk a{ik}b_{kj} \]

⚠️但是大多数api对乘法的定义是完全相反的，这比较annoying！

api函数：【api往往对矩阵类型”重载”了*操作符】

• GLSL：

  • ❤️左乘 ：与常规定义相反，*操作符右侧矩阵提供行，左侧矩阵提供列，对应元素相乘 – 与godot相同【godot底层api是opengl/es】

  • 左乘需要注意的，多个变化矩阵情况：例如SRT矩阵变换

  • mat3 M = (T * R * S); // 或者依次左乘 M = S * M; M = R * M; M = T * M;

• HLSL：

  • 右乘 ：与常规相同

（4）transpose

api函数：

• GLSL/HLSL：transpose

（5）determinant - 行列式

表示方式：

\[det(A) =|A| \]

行列式：

• 行列式的定义比较含糊，我们只需要知道，二阶行列式、三阶行列式的公式，以及n阶行列式的递归推导
• n阶行列式：….{取其中一行，计算(-1)^(i+j)*对应代数余子式之和}

余子式：

• 定义：矩阵去掉第i行第j列后的行列式 -- 本质上是一个行列式

代数余子式：

• 定义：一个矩阵A的(i,j)代数余子式：Cij 是指A的(i,j)余子式Mij与(-1)i+j的乘积

• \[C{ij}=(-1)^{i+j}M{ij} \]

余子矩阵：

• 定义：A矩阵对应位置存储的是 代数余子式

伴随矩阵：

• 记作：adjoint

\[adj(A)=A^* \]

• 定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵C的转置矩阵

\[adj(A)=C^T \]

• 应用：

  • 根据拉普拉斯公式的推论，n阶方阵有：

\[AA^*=A^*A=|A|I \]

  * 证明：
  * A*是余子矩阵的转置，这样A和A*的矩阵乘法中， _在对角线_ 上，矩阵元素与对应代数余子式相乘，得到的结果都是det(A)

\[对角线上:\sum{k=1}^na{ik}C_{ik} \]

  * _在非对角线上_ ，相当于将原本第j行元素换成第i行元素求取行列式， _**由于有两行相同，所以行列式为0**_ 【或者说：本身正在计算第j行行列式，却把第j行元素替换成了第i行】

\[非对角线上:\sum{k=1}^na{ik}C_{jk} \]

* 如果矩阵可逆，可以推导出矩阵的逆和矩阵的伴随之间的关系：

\[AA^=|A|I \\ AA^{-1}=I \\ => A^{-1}=\frac{A^}{|A|} \]

行列式的性质：

• 性质1：只要行列式任意一行或列为全0，则行列式为0 - easy

• 性质2：行列式中任意两行(列)互换，行列式的值取反号

• 性质3：如果行列式中某一行所有元素都是两项之和，该行列式可以拆成两个行列式相加

• 性质4：行列式中某一行所有元素都乘以相同的系数k，等价用k乘以此行列式

• 【行列式的初等变换 】性质5 ：行列式某行(列)乘以一个非零常数加到另一行(列)上，行列式不变

  • 推导1：如果行列式有两行(列)相同，或者成比例，行列式为0 -- 证明：则取其中任意一行乘以-1，加到另一行，使该行元素全部为0

  性质5的证明: 加到另一行，说明可以把行列式拆分为两个行列式，其中一个为原行列式，另一个行列式中有两行成k倍关系，根据性质2和性质4，所以可以得到这个行列式为0，所以新的行列式等于原行列式 性质5推导1的证明: 可以通过性质5直接证明，或者性质2，两行相同，那么交换两行行列式取反，所以行列式只能为0

三阶行列式的快速求法

• 我们可以通过斜对角线快速求的结果：

  • \[\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z\\ i & j & k \end{vmatrix}=从左到右从上到下-从右到左从上到下=(ayk+bzi+cxj)-(azj+bxk+cyi) \]

  • 

（6）inverse - 逆

定义：

• \[AA^{-1}=A^{-1}A=I_n \]

n阶矩阵A可逆的充要条件：

• \[|A|\neq 0 \]

• 其他后续补充…

求法：

• 伴随矩阵法

  • \[A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} \]

• 初等变化法

  • 具体步骤：

    • 构造矩阵(A,I)，通过初等变换将A转换为I，我们就得到A-1

\[(A,I)\sim(I,A^{-1}) \]

  * ![](/img/r/1709666786579.jpg)
* ###### 参考博客：https://www.sudoedu.com/线性代数视频课程/矩阵/用初等变换求逆矩阵/

（7）矩阵初等变换

初等变换：

• 交换矩阵的两行

• 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素

• 把矩阵的某一行所有元素乘以一个不为0的数k，然后加到另一行对应元素

  其他后续补充: 1.秩 2.特征值 3.Ax=b ……

3.变换

线性变换：

• 定义：线性变换是一种函数，我们关注输入和输出为三维向量的情况：

\[\tau(\textbf{u})=\tau(x,y,z)=(x’,y’,z’) \]

线性变化需要满足两个性质：

\[\tau(\textbf{u}+\textbf{v})=\tau(\textbf{u})+\tau(\textbf{v}) \
\tau(k\textbf{u})=k\tau(\textbf{u}) \]

• 线性变换的矩阵表示法 ：根据线性变换的性质，我们有意将向量u拆成：

\[\textbf{u}=x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k} \\ 其中:x,y,z是常数,也就是3d坐标; \
\textbf{i} = (1,0,0)\ \ \ \textbf{j}=(0,1,0) \ \ \ \textbf{k}=(0,0,1) \]

那么根据线性变换的性质：

\[\tau(\textbf{u})=τ(x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k})=x\tau(\textbf{i})+y\tau(\textbf{j})+z\tau(\textbf{k}) \]

这种三个对应相乘的形式，我们可以用向量/矩阵的乘法 表示：

\[\tau(\textbf{u})=\textbf{u}A=\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} {\color{Red} \begin{bmatrix} \gets \tau(\textbf{i}) \to \\ \gets \tau(\textbf{j}) \to \\ \gets \tau(\textbf{k}) \to \end{bmatrix} } \]

我们称矩阵A为线性变化τ的矩阵表示法 => 换言之，对三维向量的线性变化，都可以转换为矩阵的形式 ； 特别的，这个矩阵很特殊，矩阵的每行分别是对标准基向量的变换

_※甚至我们只需要关注对标准基向量的变换!!! 比如当我们关注旋转变换时，(当然我们需要保证它是一个线性变换)，我们只需要关注比如(1,0,0)这个向量在旋转后结果(?,?,?)即可，那比如绕z轴旋转θ角度，非常容易求得结果为(cosθ,sinθ,0)_

特殊线性变换 ： 【对于特殊的线性变换，我们可以很容易根据上面的推导得到对应矩阵】

• 缩放

  • 对应线性变换函数：

\[s(x,y,z)=(s_xx,s_yy,s_zz) \]

* 对应矩阵：

\[\tau(\textbf{i})=(s_x,0,0)\ \tau(\textbf{j}),\tau(\textbf{k})同理 \\=>\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix} \]

• 旋转

  • 旋转有许多种，包括：对x/y/z以及任意轴的旋转

  • 常见旋转矩阵：

【我们约定：正θ角表示逆时针旋转】我们可以通过旋转是线性变换可以推导出特殊旋转矩阵：

TODO

其实可以发现，这里xyz轴可以任意替换，也不用关心左右手坐标系 – 比如关于y轴旋转，那么我们考虑zox*面，那么z行就是cos sin，x行就是-sin cos，以此来记忆

* 讨论最简单的一种 -- 关于z轴旋转θ度：

\[r(x,y,z)=(?,?,z) \]

这里?还真不好求，我们可以通过上面👆论证的，仅仅考虑对标准基向量的变换，快速得到结果

* 常规旋转 -- 向量v绕轴n以θ旋转【**罗德里格旋转公式** 】

  * 证明：

  * ![](/img/o/1709666786585.jpg)
  * 我们将v向量分为*行于n轴的向量和垂直于n轴的向量 -- 因为旋转只影响垂直于n轴的向量

  * \\[\vec{v}=\vec{v_\bot}+\vec{v_\parallel} \\]

  * 我们假设n是单位向量(简化表达)：

  * \\[\vec{v_\parallel}=(\vec{n}\cdot \vec{v})\cdot \vec{n} \\\ \vec{v_\bot}=\vec{v}-\vec{v_\parallel} \\]

  * 上面右图可以发现，我们可以将垂直向量的旋转问题，看成一个(原向量的模,0)向量在以下xoy*面旋转：

  * \\[x轴:\vec{v_\bot} \\\ y轴:\vec{n}\times \vec{v} \ 或 \ \vec{n} \times \vec{v_\bot} \\]

  * 那么旋转后的向量对x轴和y轴的投影之和就是旋转向量：

  * \\[\vec{v_\bot}'=||\vec{v}_\bot||\cdot cos\theta\cdot \frac{\vec{v_\bot}}{||\vec{v}_\bot||}+||\vec{v}_\bot||\cdot sin\theta\cdot \frac{\vec{n}\times \vec{v}}{||\vec{n}\times\vec{v}||} \\\ \because |\vec{n}\times \vec{v}|=|\vec{v_\bot}| \\\ =\vec{v_\bot}\cdot cos\theta + (\vec{n} \times \vec{v})\cdot sin\theta \\]

  * 所以整合公式：

  * \\[\vec{v}'=\vec{v_\parallel}+\vec{v_\bot}' \\\ =\vec{v_\parallel}+ \vec{v_\bot} \cdot cos\theta+(\vec{n}\times \vec{v})\cdot sin\theta \\\ =(\vec{n}\cdot \vec{v})\cdot \vec{n}+(\vec{v}-(\vec{n}\cdot \vec{v})\cdot\vec{n})\cdot cos\theta+(\vec{n}\times \vec{v})\cdot sin\theta \\\ =(1-cos\theta)\cdot(\vec{n}\cdot \vec{v})\cdot \vec{n}+cos\theta\cdot\vec{v}+(\vec{n}\times \vec{v})\cdot sin\theta \\]

  * 结果：

  * \\[{\color{Red} R_n(v)=proj_n(v)+R_n(v_\bot)} \\\ {\color{Red} =cos\theta \textbf{v}+(1-cos\theta)(\textbf{n}\cdot \textbf{v})\textbf{n}+sin\theta(\textbf{n}\times \textbf{v})} \\]

  * 证明此变换是线性变换：

    * 性质1：

      * 叉积满足分配率：

\[n\times (v_1+v_2)=n\times v_1+n\times v_2 \]

      * 点积满足分配率：

\[n\cdot(v_1+v_2)=n\cdot v_1 + n\cdot v_2 \]

    * 性质2：易证，不管点积叉积，都可以将常数提取出来

  * 当知道变换是线性变换后，我们可以构造矩阵 -- 对标准基向量变换以快速构造：

\[n=(x,y,z) \ \ \ \ \theta \\ R_n=\begin{bmatrix} cos\theta+(1-cos\theta)x^2 & (1-cos\theta)xy+sin\theta z & (1-cos\theta)xz-sin\theta y \\ (1-cos\theta) xy-sin\theta z & cos\theta+(1-cos\theta)y^2 & (1-cos\theta)yz+sin\theta x\
(1-cos\theta)xz+sin\theta y & (1-cos\theta)yz-sin\theta x & cos\theta+(1-cos\theta)z^2 \end{bmatrix} \]

• *移并不是线性变换

• ‼️重要性质：旋转矩阵的逆等于旋转矩阵的转置

• 🤔️【思考】线性变换的组合是线性变换吗，model矩阵中SRT的SR是线性变换吗？如何通过model矩阵逆推S、R、T矩阵？

  • 线性变换的复合还是线性变换！

    • 解析：考虑什么叫变换的组合，比如旋转和缩放，这两个变换的组合就是先旋转后再缩放，或用代数形式推理：

\[\tau_2(\tau_1(u+v))=\tau_2(\tau_1(u)+\tau_1(v))=\tau_2(\tau_1(u))+\tau_2(\tau_1(v)) \\ \tau_2(\tau_1(ku))=k\tau_2(\tau_1(u)) \]

  * 故：SR的复合矩阵的每行依旧是对标准基向量的变化

* 仿射变换相较于线性变换的特殊性：可以分离出线性变换部分(SR)与*移部分(T)

正交矩阵：

• 定义：如果AAT=I或ATA=I，则n阶实矩阵A称为正交矩阵

• 正交矩阵的性质：

  • \[A^{-1}=A^T \]

  • A的各行或各列是单位向量，且两两正交

  • \[|A|=1或=-1 \]

    • 证明：

\[|AA^T|=|A||A^T|=|A|^2=1 \]

旋转是正交矩阵的证明:
首先旋转是线性变换，所以旋转对应的矩阵的行向量，分别是对标准基向量的变换，那么对这三个标准基向量ijk同时施加旋转，结果依旧是单位向量，且它们之间是两两正交的

仿射变换：

• 定义：仿射变换 = 线性变换 + *移

• \[\alpha(u)=\tau(u)+b=uA+b=\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A{11} & A{12} & A{13} \\ A{21} & A{22} & A{23} \\ A{31} & A{32} & A_{33} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_x & b_y & b_z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x’ & y’ & z’ \end{bmatrix} \]

• 将3d坐标扩充为齐次坐标后：

\[\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A{11} & A{12} & A{13} & 0 \\ A{21} & A{22} & A{23} & 0 \\ A{31} & A{32} & A_{33} & 0 \\ b_x & b_y & b_z & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x’ & y’ & z’ & 1 \end{bmatrix} \]

坐标系变换：

• 坐标系中基向量理解：

  • 比如3维空间中(x,y,z)坐标：

  • \[(x,y,z)=x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k} \\ \vec{i} = (1,0,0) \\ \vec{j} = (0,1,0) \\ \vec{k} = (0,0,1) \]

  • 所以其实ijk可以是任何向量，xyz是相对这个坐标系的坐标 （好像是废话～）

• 坐标系之间变换

  • 两个坐标系之间的变换，假设坐标系A的xyz轴和原点相对于坐标系B的坐标为uvw和Q，那么从坐标系A到坐标系B的坐标转换矩阵为：

\[\begin{bmatrix} \leftarrow u \rightarrow \\ \leftarrow v \rightarrow \
\leftarrow w \rightarrow \\ \leftarrow Q \rightarrow \end{bmatrix} \]

那么从B到A的坐标变换矩阵为该矩阵的逆矩阵，也就是uvw这个3x3局部矩阵的逆和Q取反

* 🔥**记忆方式** ：将坐标从A转换到B，变换矩阵为A相对于B的坐标(xyz和原点) -- 与常规认知相反，下意识会认为应该是B相对于A的坐标

  * 比如：local->world的变换矩阵，就是local相对于world的坐标，局部坐标系实际在世界空间中的位置 -- "实际上世界空间是固定的，局部空间是处于世界空间中"

4.渲染管线

（1）坐标系

\[local \rightarrow world \rightarrow view \rightarrow ndc \]

坐标系之间的转换只涉及RT，R：rotation，T：transform，是一个仿射变换，可以看成旋转(线性变换)和*移这两个变化矩阵的组合，所以变化矩阵格式如下：

\[M=\begin{pmatrix} \tau(\vec{i}) \\ \tau(\vec{j}) \\ \tau(\vec{k}) \\ Q \end{pmatrix} \]

‼️重要性质：因为旋转矩阵是正交矩阵，所以求变换矩阵的逆M -1很简单，属于旋转的3x3部分的逆就是转置

\[M=\begin{pmatrix} u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ w_x & w_y & w_z & 0 \\ Q_x & Q_y & Q_z & 1 \end{pmatrix} \ \ \ \ M^{-1}= \begin{pmatrix} u_x & v_x & w_x & 0 \\ u_y & v_y & w_y & 0 \\ u_z & v_z & w_z & 0 \\ -Q_x & -Q_y & -Q_z & 1 \end{pmatrix} \]

坐标系变换矩阵简述

• world - local -> world

  • local相对于world的坐标，相当于要将物体放在world空间的什么位置

• view - world -> view

  • world相对于camera并不好算，反而camera相对于world很简单，只需要摄像机空间朝向(z)，正上方(y)，就能构建view矩阵的逆矩阵

• projection - camera -> ndc

  • 比如将*截头体透视到投影窗口上【相似三角形】，利用矩阵的闲余元素将z从[n,f]映射到[0,1]

  • 

  • r：aspect ratio 长宽比【记忆方式：分辨率长在前，宽在后】；α：垂直视仰角，这个角度是两倍与水*面的夹角

  • 

  • 其中投影窗口具体离人眼位置，以及长宽具体值并不重要【我们可以假设高为2，那长就为2r】，因为我们最终会将投影窗口根据纵横比映射到后台缓冲区 => 为了去除投影窗口对纵横比的依赖，我们会做一个额外映射，将x从[-r,r]映射到[-1,1] 【透视除法】

  • 总结：

\[camera \overset{相似\triangle}{\rightarrow} homogeneous \overset{透视\div}{\rightarrow} ndc \\ndc: \left\{\begin{matrix} x\in[-1,1] \\ y\in[-1,1] \\ z\in[0,1] \end{matrix}\right. \]

🌟projection矩阵推导：

参考网站：https://blog.csdn.net/shuaigougou5545/article/details/126324406

不妨假设投影窗口长度为2r，宽度为2，那么投影窗口距离人眼距离为1/tan(α/2)，根据相似三角形可以得到：– 其中，相似三角形能将x映射到[-r,r]，但要满足ndc则还需要进行额外除以r

\[y{ndc}=\frac{y}{z}\cdot\frac{1}{tan\frac{\alpha}{2}} \
x{投影*面}=\frac{x}{z}\cdot \frac{1}{tan\frac{\alpha}{2}} \ \
x{ndc}=x{投影*面}/r \\ \therefore x’=\frac{x}{r\cdot tan\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{1}{z} \ \ \ \ y’=\frac{y}{tan\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{1}{z} \]

这里我们可以看到,其实r、alpha、n、f共同决定观察的*截头体,所以我们通过定义投影窗口,相当于定义了我们会将xy限制/投影在某个范围内(投影窗口:x坐标[-r,r],y坐标[-1,1])

公式中都出现z，但z导致线性关系破裂（难以通过构造矩阵表达），我们可以在构造矩阵时分别处理线性变换和非线性变换【透视除法】– 透视除法：我们让矩阵结果w分量保存z值，最后再通过xyz同时除以w实现结果

所以我们初步得到了projection矩阵：

\[(x,y,z,w)\begin{pmatrix} \frac{1}{r\cdot tan\frac{\alpha}{2}} & 0 & ? & 0\\ 0 & \frac{1}{tan\frac{\alpha}{2}} & ? & 0\\ 0 & 0 & ? & 1 \\ 0 & 0 & ? & 0 \end{pmatrix}=(x’,y’,z’,w’) \]

我们发现矩阵中关于z的变换的元素闲余，我们可以利用起来，将z从[n,f]*远*面之间进行线性映射到[0,1]

因为z’与xy无关，所以M02和M12均为0，假设M22为A，M32为B，那么有如下关系式：

\[Az+B=z’ \\ z\in[n,f] \rightarrow z’\in[0,1] \]

🕳️这里有大坑：我们之后会进行透视除法，所以这里的并不是一个 线性映射 => 这里我们只能保证我们的构造的函数是保序函数！！

\[Az+B=z’ \ \ \ \ z_{ndc}=z’/z=A+\frac{B}{z} \\ A+\frac{B}{n}=0 \ \ \
A+\frac{B}{f}=1 \\ \therefore A=\frac{f}{f-n} \ \ \ \ B=\frac{-nf}{f-n} \]

projection矩阵的完整版：

\[M_{projection}=\begin{pmatrix} \frac{1}{r\cdot tan\frac{\alpha}{2}} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{tan\frac{\alpha}{2}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{f}{f-n} & 1 \\ 0 & 0 & \frac{-nf}{f-n} & 0 \end{pmatrix} \]

TODO：

5.rotation

与旋转相关的数学概念有：旋转矩阵、欧拉角、四元数、轴角。

参考文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840

（1）欧拉角

内旋/外旋 ：

• https://blog.csdn.net/xinxiangwangzhi_/article/details/124650910
• https://blog.csdn.net/weixin_42927959/article/details/89880825

内旋/外旋

• 内旋：绕物体自身的坐标系旋转 – 欧拉角的默认前提

• 外旋：绕惯性系旋转（轴是固定的，不会动）

前提：矩阵乘法一般不满足交换律，所以旋转并不是简单线性累加

Z-Y-X欧拉角

TODO：

（2）四元数

复数

\[z=(a,b)=a+bi \\ \overline{z}=(a,-b)=a-bi \\ {\color{Red} 人为定义:\ i^2=-1} \]

• a为实部，b为虚部，虚部单位i，共轭复数虚部相反

• 复数运算规则：

  • \[(a,b)\pm(c,d)=(a+c,b+d) \\ (a,b)(c,d)=(a+bi)(c+di)=ac+bdi^2+(ab+cd)i=(ac-bd,ab+cd) \\ \frac{(a,b)}{(c,d)}=\frac{(a,b)(-c,d)}{(c,d)(-c,d)}=(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}) \ \ \ \ 前提:(c^2+d^2\neq0) \]

• 极坐标表示法 ：复数运算法则与2D向量相似，我们可以将复数看成2D坐标

  • \[z=(a,b)=a+bi=rcos\theta+irsin\theta=(rcos\theta,rsin\theta) \]

  • 特殊性质 - 复数乘法 ：

\[z_1z_2=(r_1cos\theta_1+ir_1sin\theta_1)(r_2cos\theta_2+ir_2sin\theta_2) \\=(r_1r_2(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2),r_1r_2(cos\theta_1sin\theta_2+sin\theta_1cos\theta_2)) \\=(r_1r_2cos(\theta_1+\theta_2), r_1r_2sin(\theta_1+\theta_2)) \]

比较该公式与复数的极坐标表示，如果r2=1，也就是z2为单位复数，则该乘法的结果其实就是对z1复数（向量）进行了一个旋转操作

结论：将复数z1（把它视为2D向量）与单位复数z2相乘就相当于对z1进行旋转操作

四元数代数

\[\textbf{q}=(u,w)=(q_1,q_2,q_3,q_4)=q_1i+q_2j+q_3k+q_4 \
\overline{\textbf{q}}=(-u,w)=(-q_1,-q_2,-q_3,q_4)=-q_1i-q_2j-q_3k+q_4 \
{\color{Red} 人为定义:i^2=j^2=k^2=ijk=-1} \\ \therefore ij=k,\ ji=-k,\ jk=i,
kj=-i,\ ki=j,\ ik=-j \]

• u为虚部，w为实部，(这里我们一般将虚部放在前面,与复数相反,问题不大)

• 运算法则：类似于向量和复数

  • 四元数乘法：

\[pq=r=(r_1,r_2,r_3,r_4)=r_1i+r_2j+r_3k+r_4 \]

对应相乘，能得到i的有：单含i的，以及j与k相乘

\[含i的:\ \ \ \ p_1i*q_4+p_2j*q_3k+p_3k*q_2j+p_4*q_1i \]

同理得到：

\[r_1=p_1q_4+p_2q_3-p_3q_2+p_4q_1 \\ r_2=-p_1q_3+p_2q_4+p_3q_1+p_4q_2 \
r_3=p_1q_2-p_2q_1+p_3q_4+p_4q_3 \\ r_4=-p_1q_1-p_2q_2-p_3q_3+p_4q_4 \
pq=r=(r_1,r_2,r_3,r_4)=\begin{pmatrix} p_4 & -p_3 & p_2 & p_1\\ p_3 & p_4 & -p_1 & p_2\\ -p_2 & p_1 & p_4 & p_3\\ -p_1 & -p_2 & -p_3 & p_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \\ q_4 \end{pmatrix} \]

结论：四元数的乘法可以写成类似矩阵乘法的形式

\[pq=\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \\ q_4 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} p_4 & -p_3 & p_2 & p_1\\ p_3 & p_4 & -p_1 & p_2\\ -p_2 & p_1 & p_4 & p_3\\ -p_1 & -p_2 & -p_3 & p_4 \end{pmatrix}^T \]

  * 四元数与纯实数或乘法单位元`e=(0,0,0,1)`

    * \\[pe=\begin{pmatrix} p_4 & -p_3 & p_2 & p_1\\\ p_3 & p_4 & -p_1 & p_2\\\ -p_2 & p_1 & p_4 & p_3\\\ -p_1 & -p_2 & -p_3 & p_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix}=p \\\ ep=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_1 \\\ p_2 \\\ p_3 \\\ p_4 \end{pmatrix}=p \\]

  * 四元数连乘

    * 两个四元数相乘的结果依然是一个四元数（4D向量/行向量或列向量），所以很明显可以连乘，如何用矩阵形式表示：TODO？？？-- 考虑方向：四元数乘法是否具有结合律
* 四元数乘法另一种形式：

  * 四元数乘法可以写成点乘和叉乘的形式 => 数学家可能从这里发现了公式与罗德里格公式的相似之处

  * 四元数就是向量，所以点积和叉积和向量的定义相同

  * \\[p=(u,a) \ \ \ \ q=(v,b) \\\ u\times v=(p_2q_3-p_3q_2,p_3q_1-p_1q_3,p_1q_2-p_2q_1) \\\ u\cdot v=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3 \\]

我们观察之前计算的结果：

\[r_1=p_1q_4+p_2q_3-p_3q_2+p_4q_1 \\ r_2=-p_1q_3+p_2q_4+p_3q_1+p_4q_2 \
r_3=p_1q_2-p_2q_1+p_3q_4+p_4q_3 \\ r_4=-p_1q_1-p_2q_2-p_3q_3+p_4q_4 \]

推导：

\[r_4=-u\cdot v+ab \\ r_1=(u\times v)_x+p_1q_4+p_4q_1 \\ r_2=(u\times v)_y+p_2q_4+p_4q_2 \\ r_3=(u\times v)_z+p_3q_4+p_4q3 \\ \therefore r{1/2/3}=(u\times v){x/y/z}+(bu){x/y/z}+(av)_{x/y/z} \\ \therefore r=u\times v+bu+av \]

总结：

\[p=(u,a) \ \ \ \ q=(v,b) \\ pq=(u\times v+bu+av,-u\cdot v+ab) \]

四元数相关性质

• 共轭

  • \[q=(u,w)=(q_1,q_2,q_3,q_4) \\ q*=\overline{q}=(-u,w)=(-q_1,-q_2,-q_3,q_4) \]

• 范数（模）

  • \[q=(u,w)=(q_1,q_2,q_3,q_4) \\ ||q||=\sqrt{u^2+w^2}=\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2+q_4^2} \]

  • 单位四元数 => 模为1的四元数

  • 显然：

\[||q||=||\overline{q}|| \]

• 共轭、范数重要运算法则

  • 共轭的运算与逆类似：通过pq乘法的代数表示进行推导

\[p=(u,a) \ \ \ \ q=(v,b) \\ pq=(u\times v+bu+av,-u\cdot v+ab) \]

得到：

\[(pq)^*=q^p^ \\(p+q)^=p^+q^* \]

* 重要性质：

  * \\[{\color{Red} pp^*=||p||^2} \\\ (r_1,r_2,r_3=0,所以值为纯实数) \\]

  * \\[||pq||=||p||\cdot ||q|| \\]

证明：

\[\because ||p||=\sqrt{pp^} \\ \therefore ||pq||=\sqrt{(pq)(pq)^} \
=\sqrt{p(qq^)p^} \\ = \sqrt{p||q||^2p^} \\ =||q||\sqrt{pp^} \\=||p||\cdot||q|| \]

• 逆

  • 定义：

\[qq^{-1}=q^{-1}q=1=(0,0,0,1) \]

* 性质：

\[\because qq^{-1}=1 \ \ \ \ qq^=||q||^2 \\ \therefore q^{-1}=\frac{q^}{||q||^2} \\ \therefore 单位四元数的逆=其共轭 \]

• 极坐标表示

  • 极坐标用ρ、θ构造，我们这里不能将ijk看成三维标准基向量 （虽然看起来有那么回事～） ，θ很难说在三维中的意义是什么

  • 首先考虑单位四元数：

\[q=(u,w) \\ ||q||=1 \ \ \rightarrow \ \ u^2+w^2=1^2 \\ \therefore w^2 \]

u和w这种*方和为1的状况，我们可以考虑sin^2+cos^2=1的结构，因为w是1维度，而u是3维度，为了考虑角度与三角函数值唯一对应的情况，我们应该将w视为cos，那么theta角的范围应该在[0,pi]

\[||w||=cos\theta \ \ \ \ \theta\in[0,\pi] \\ ||u||=sin\theta \ ? \]

分析u，一个3维向量的模是sinθ，那么这个三维向量应该是任意单位向量乘上常数sinθ

\[u=sin\theta\cdot n \ \ \ \ ||n||=1 \]

所以：

\[q=(u,w)=(nsin\theta,cos\theta) \ \ \ \ \theta\in[0,\pi] \\ ||n||=1 \]

意味着，我们可以将一个三维单位向量n和角度θ存入四元数 => 意义：后面到旋转算子就知道了，目前可以透露的是，n代表的任意旋转轴，θ代表的旋转角度，通过旋转算子用四元数表示旋转操作

考虑特殊情况：

  * θ不在[0,π]的范围

    * θ在[-π,0]的情况，就是反向旋转，用四元数表示：

\[q’=(nsin(-\theta),cos(-\theta))=(-nsin\theta,cos\theta)=q^* \]

    * 绕旋转轴旋转角度，最大就是π，那么超过π的

  * n不是单位向量

四元数旋转算子

• 数学家发现，四元数结构qvq*的结果，刚好是罗德里格旋转算法，因此我们就通过对p进行四元包夹乘法

• 前提：

  • q是单位四元数 - 所以q的逆与共轭等价
  • 我们将纯虚数视为向量或坐标v
  • 旋转算子得到的结果期望也是一个纯虚数（向量/坐标）

• 旋转算子的推导：

  • 四元数的旋转算子：

\[v’=qvq^*=qvq^{-1} \\ q=(nsin\theta, cos\theta) \ \ \ \ \theta \in [0,\pi] \ \ \ \ ||n||=1 \]

* 要用到的公式：

\[1.四元数乘法: \\ p=(u,a) \ \ \ \ q=(v,b) \\ pq=(u\times v+bu+av,-u\cdot v+ab) \\ 2.罗德里格旋转公式: \\ R_n(v)=proj_n(v)+Rn(v\bot) \\ =cos\theta \textbf{v}+(1-cos\theta)(\textbf{n}\cdot \textbf{v})\textbf{n}+sin\theta(\textbf{n}\times \textbf{v}) \\ 3.向量三重积公式: \\ a\times(b\times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b) \]

* 三重积：

  * \\[a\cdot (b\times c)=b\cdot(c\times a)=c\cdot (a\times b) \\]

  * 其中任意两向量相等，三重积结果为0

* 推导：

\[p=(v,0) \ \ \ \ q=(u,w) \ \ \ \ q^{-1}=q^=(-u,w) \
qpq^=(u,w)(v,0)(-u,w) \\ =(u\times v+wv,-u\cdot v)(-u,w) \\ =(a”,b”) \
a”=-u\times v\times u-wv\times u+(u\cdot v)u+wu\times v+w^2v \\ b”=(u\times v)\cdot u+wv\cdot u-wu\cdot v=0 \]

b''=0是我们预期的结果，对于a‘’来说：

分析-u×v×u，其中u×v是垂直于uv*面的向量假设为t，假定一个手性，绘制出坐标系，那么t×u的结果应该是与v相反，所以说总结果为-u×v×u=v -- 错误的🙅，方向是v的方向，但大小并不是 【可以写成u×(v×u)，这样可以代向量三重积的公式】

\[a”=-u\times v\times u-wv\times u+(u\cdot v)u+wu\times v+w^2v \
这里:p=(v,0) \ \ \ \ q=(nsin\theta,cos\theta)=(u,w) \ \ \ \ 且||n||=1 \
\therefore a”=2(u\cdot v)u-(u\cdot u)v+2wu\times v+w^2v \\=(cos^2\theta- sin^2\theta)v+2sin^2\theta (n\cdot v)n+2sin\theta cos\theta(n\times v) \\ = cos2\theta v+(1-cos2\theta)(n\cdot v)n+sin2\theta(n\times v) \]

根据推导我们可以看到旋转算子qvq*的结果，就是罗德里格旋转公式的结果，n是旋转轴，但θ是真实旋转角度的一半（也就是说我们想要旋转alpha度，那么θ角就是alpha的一半）

总结：

已知向量v（v=(v,0)），绕n轴（n轴是单位向量）旋转θ角度，对应的旋转四元数q（`q=(nsinθ,

cosθ)），那么旋转后的新向量v'（v’=qvq*`：四元数连乘）

6.解析几何

（1）长方形与长方形相交 （长方形可旋转）

判断相交的流程：

1. 判断两个长方形的边是否有相交 -- 相交=>true；否则=>进入2
2. 判断两个长方形是否存在包含关系 -- 包含=>true；否则=>false
   • 判断x,y的值域范围存在包含关系 - 这与长方形是否存在包含关系等价

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遗留问题

alpha值的物理证明，为什么比如通过透明物质是通过alpha来计算最终光线的；albedo物理意义，透明物体的albedo和不透明物体的区别

坐标系变换矩阵的一些api

用三个角度的坐标系 - 垂直视仰角

vec与vec相乘，透视乘法？

判断是否有逆

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n.基本数学定理

（1）余弦定理

余弦定理定义：

$\( cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\alpha \)\( 余弦定理证明：  \)\( c=b\cdot cos\alpha+a\cdot cos\beta \\\ c^2=bc\cdot cos\alpha+ac\cdot cos\beta \\\ 同理:a^2=ab\cdot cos\gamma+ac\cdot cos\beta \ \ \ \ b^2=ab\cdot cos\gamma+bc\cdot cos\alpha \\\ \therefore a^2+b^2-c^2=2ab\cdot cos\gamma \)$

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奇怪的知识

• 逆&除法：
  • 当乘法满足交换律时，我们用除法定义；当乘法不满足交换律时，我们用逆定义；