Copula

金融数据常体现相关性，传统多元分析的统计方法通常假设联合正态分布，然而这种做法的局限性很强，因为金融数据通常并不体现“正态”。

Copula: 提供灵活与通用的生成给定单变量边际分布的多元分布。由于边际分布已确定，联合分布则能通过这已确定的边际分布变换到单位立方体 cube: \([0, 1]\) 上。

一个 \(n\) 元的 copula 是在单位立方体 cube \([0, 1]\) 上的多元分布，并且其边际的分布为 \(\mbox{Uniform}(0, ~ 1)\)。

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先从二元的 copula 入手

Definition 1.

设有一个定义在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上的二元函数 \(G\)，如果：

\[\forall u, v \in [0, 1]: ~ G(u, 0) = G(0, v) = 0 \]

则称 bivariate function \(G\) is grounded 。

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定义 1. 的意思即是说一个 grounded bivariate function，必定满足定义域为 \([0, 1] \times [0, 1]\)，并且函数在定义域正方形靠在 \(x, y\) 两轴上的边上取值为 \(0\)。

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Definition 2.

如果：

\[\forall u{1} \leq u{2}, ~ v{1} \leq v{2}: ~ G(u{2}, v{2}) - G(u{2}, v{1}) - G(u{1}, v{2}) + G(u{1}, v{1}) \geq 0 \]

那么称：bivariate function \(G\) is 2-increasing 。并且，如果 \(G\) 同时二阶可微，那么：

\[\mbox{2-increaing} \quad \iff \quad \frac{\partial^{2}G(u, v)}{\partial u \partial v} \geq 0 \]

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这里前半句的意思实际是，在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 的正方形区域内，任意再取一个小正方形，使得四个点坐标分别为：左下： \((u{1}, v{1})\)， 右下：\((u{2}, v{1})\)， 左上：\((u{1}, v{2})\) 以及右上： \((u{2}, v{2})\)。那么此处条件实际为：

\[\mbox{左下 + 右上 \(\geq\) 左上 + 右下} \]

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Definition 3.

一个二元 copula \(C\) 是一个定义在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上的函数，同时满足：

​ (a) \(C\) is grounded.

​ (b) \(C\) is \(\mbox{2-increasing}\).

​ © 对于 \(\forall u, v \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = u, ~ C(1, v) = v\)

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Corollary 1.

一个二元函数 当且仅当 它定义在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上且边际分布服从均匀分布时（很显然只能是\(\mbox{Unif}[0, 1]\) 的均匀分布）为一个 copula。

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Proof.

\(\Longleftarrow\)

假设有一个二元函数 \(f_{X, Y}(x, y)\) 其中 \(x, y \in [0, 1]\)，并且对于 marginal distribution 有：

\[\int^{1}{0} f{X, Y}(x, y) ~ dy= f{X}(x) = a \in \mathbb{R}\
\int^{1}{0} f{X, Y}(x, y) ~ dx= f{Y}(y) = b \in \mathbb{R}\\ \]

• 首先，copula 的定义域条件 （i.e. \([0, 1] \times [0, 1]\)）已经给出。并且显然 \(a = b = 1\)，因为：

\[\int^{1}{0}\int^{1}{0} f{X, Y}(x, y) ~ dy~dx = 1 = \int^{1}{0} a ~ dx = a\\ \int^{1}{0}\int^{1}{0} f{X, Y}(x, y) ~ dx~dy = 1 = \int^{1}{0} a ~ dy = b\\ \]

• 其次，当 \(x=0\) 时，

\[\begin{align} \int^{1}{0} f{X, Y}(0, y) ~ dy = f{X}(0) = a \quad & \implies \quad \frac{\partial \int^{1}{0} f{X, Y}(0, y) ~ dy}{\partial y} = \frac{\partial f{X}(x)}{\partial y} = 0\\ & \implies \quad f_{X, Y}(0, y) = 0 \end{align} \]

同理，当 \(y = 0\) 时，

\[\begin{align} \int^{1}{0} f{X, Y}(x, 0) ~ dx = f{Y}(0) = b \quad & \implies \quad \frac{\partial \int^{1}{0} f{X, Y}(x, 0) ~ dx}{\partial x} = \frac{\partial f{Y}(y)}{\partial x} = 0\\ & \implies \quad f_{X, Y}(x, 0) = 0 \end{align} \]

因此函数 \(f_{X,Y}(x,y)\) is grounded.

• 令：

\[F{X, Y}(x, y) = \int^{y}{0} \int^{x}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \]

那么对于：

\[\begin{align} \forall y \in [0, 1]: ~ F{X, Y}(1, y) & = \int^{y}{0} \int^{1}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\ & = \int^{y}{0} f{Y}(t) ~ dt \\ & = \int^{y}_{0} 1 ~ dt \\ & = y \end{align} \]

同理：

\[\begin{align} \forall x \in [0, 1]: ~ F{X, Y}(x, 1) & = \int^{1}{0} \int^{x}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\ & = \int^{x}{0} \int^{1}{0} f{X, Y}(s, t) ~ dt ~ ds \\ & = \int^{x}{0} f{X}(s) ~ ds \\ & = \int^{x}{0} 1 ~ dt \\ & = x \end{align} \]

• 对于 \(\forall x{1} \leq x{2}, ~ y{1} \leq y{2}, ~ x{1}, x{2}, y{1}, y{2} \in [0, 1]\)：

\[\begin{align} & F{X, Y}(x{2}, y{2}) + F{X, Y}(x{1}, y{1}) - F{X, Y}(x{2}, y{1}) - F{X, Y}(x{1}, y{2}) \\ = & \int^{y{2}}{0} \int^{x{2}}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt + \int^{y{1}}{0} \int^{x{1}}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt ~ - \& \int^{y{2}}{0} \int^{x{1}}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt - \int^{y{1}}{0} \int^{x{2}}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt\\ = & \int^{y{2}}{0} \left( \int^{x{2}}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds - \int^{x{1}}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds \right) ~ dt ~ + ~ \\ & \int^{y{1}}{0} \left( \int^{x{1}}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds - \int^{x{2}}{0} f{X, Y}(s, t) ~ ds \right) ~ dt \\ = & \int^{y{2}}{0} \int^{x{2}}{x{1}} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt ~ - \int^{y{1}}{0} \int^{x{2}}{x{1}} f{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\ = & \int^{y{2}}{y{1}} \int^{x{2}}{x{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \end{align} \]

因此，由于 \(x{2} \geq x{1}, ~ y{2} \geq y{1}\)，并且对于 \(\forall x, y \in [0, 1]: ~ f_{X, Y}(x, y) \geq 0\)，所以根据 Riemann Integration 的基本性质，可得：

\[ \int^{y{2}}{y{1}} \int^{x{2}}{x{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \geq 0 \]

这意味着：

\[\forall x{1} \leq x{2}, ~ y{1} \leq y{2}, ~ x{1}, x{2}, y{1}, y{2} \in [0, 1]: ~ F{X, Y}(x{2}, y{2}) + F{X, Y}(x{1}, y{1}) - F{X, Y}(x{2}, y{1}) - F{X, Y}(x{1}, y{2}) \geq 0 \]

因此函数 \(F_{X,Y}(x, y)\) is 2-increasing 。

综上所述，由 copula 的定义，即证毕函数 \(F_{X,Y}(x,y)\) 为一个 copula。

\(\Longrightarrow\)

假设函数 \(C(u, v)\) 是一个 copula，那么它定义在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 之上，即 \(u, v \in [0, 1]\)。

Copula 满足 2-increasing , 那么对于 \(\forall u{1} \leq u{2}, ~ v{1} \leq v{2}\)：

\[C(u{2}, v{2}) - C(u{2}, v{1}) - C(u{1}, v{2}) + C(u{1}, v{1}) \geq 0 \]

同时 \(C(u, v)\) 还应当满足：

\[\forall u, v \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = C(1, v) = 1, ~ C(u, 0) = C(0, v) = 0 \]

那么自然能够求得 二维 copula \(C\) 的两个边缘分布：

\[C{U} = \int^{1}{0} C(u, 1) ~ du = \int^{1}{0} 1 ~ du = 1\\ C{V} = \int^{1}{0} C(1, v) ~ dv = \int^{1}{0} 1 ~ dv = 1 \]

故 Corollary 1. 证毕。

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Corollary 2.

以下三个函数都为 copulas：

（a） \(C^{-}(u, v) = \max(u + v - 1, ~ 0)\)

（b） \( C^{+}(u, v) = \min(u, ~ v)\)

（c） \(C^{\perp}(u, v) = u \cdot v\)

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Definition 4.

对于两个 copulas: \(C{1}\) 和 \(C{2}\)，如果对于 \(\forall u, v \in [0, 1]\)，都满足 \(C1(u, v) \leq C{2}(u, v)\)，则称 \(C{1}\) 小于 \(C{2}\)，记作 \(C{1} \prec C{2}\)。

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Corollary 3.

对于任意一个 copula \(C\), 都有：\(C^{-} \prec C \prec C^{+}\)。

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Proof.

Copula \(C\) 是一个如下所示的二元函数：

\[C: [0, 1] \times [0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad (u, v) \longrightarrow C(u, v) \]

根据定义，有：

\[\forall u \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = u\\ \forall v \in [0, 1]: ~ C(1, v) = v \]

现在，我们在函数的正方形定义域 \([0, 1] \times [0, 1]\) 内构造另外一个正方形，其中它的四个顶点的坐标分别为：

\[(u, 0), ~ (1, 0), ~ (1, v), ~ (u, v) \]

根据 2-increasing 的性质，我们有：

\[C(1, v) + C(u, 0) \geq C(1, 0) + C(u, v) \]

一个 copula 根据定义必须 grounded，这意味着：

\[C(u, 0) = C(1, 0) = 0 \]

因此：

\[C(1, v) \geq C(u, v) \]

相似地，我们可以建立另外一个正方形，通过相同操作得到：

\[C(u, 1) \geq C(u, v) \]

因此我们已经证明：

\[\min(u, v) \geq C(u, v) \]

欲想证明 \(C(u, ~ v) \geq C^{-}(u, v)\)，首先注意到：

\[\begin{align} C(u, v) & = P(U \leq u, ~ V \leq v) = P(U \leq u) + P(V \leq v) - P(\left\{ U \leq u \right\} \cup \left\{ V \leq v \right\})\\ & \geq u + v - 1 \end{align} \]

根据定义，我们有：

\[C(u, v) \geq 0 \]

因此：

\[C(u, v) \geq \max(u + v - 1, ~ 0) = C^{-}(u, ~v) \]

我们最终可得：

\[C^{-}(u, v) \leq C(u, v) \leq C^{+}(u, v) \]

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Sklar Theorem (Sklar, 1959)

令 \(F{1}\) 和 \(F{2}\) 为两个单变量分布函数，那么以下结论成立：

1. 如果 \(C\) 是一个 copula，那么 \(C(F{1}(x), ~ F{2}(y))\) 是一个 bivariate distribution function。

2. 若 \(F(x, y)\) 是一个 bivariate distribution function，且拥有边界分布 \(F{1}\) 和 \(F{2}\)，那么恰好存在一个 copula \(C\) 使得 \(F(x, y) = C(F{1}(x), ~ F{2}(y))\)。

注： 在 2. 中，copula 可以被表示为 \(C(u, v) = F\left( F^{-1}{1}(x), ~ F^{-1}{2}(y) \right)\)

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Gaussian Copulas

对于一个二元高斯（正态）分布，其边际密度函数（marginal P.D.F.）分别为 \(N(\mu{1}, \sigma{1}^{2})\) 和 \(N(\mu{2}, \sigma{2}^{2})\)，且两个随机变量的相关系数为 \(\rho\)，我们则可以通过 Sklar Theorem 中的 1. 来求得 copula C。因为在对两个正态随机变量进行标准化（即 \(\frac{X - \mu{1}}{\sigma{1}}\) 和 \(\frac{Y - \mu{2}}{\sigma{2}}\)）后，copula C 不再取决于边际函数（即两个正态随机变量）的变量与方差，而是仅仅取决于相关系数 \(\rho\)，即：

令 \(\phi\) 记为标准正态分布，令 \(\phi_{\rho}\) 记作两个边际函数皆为标准正态分布的二元高斯分布， 且两边际随机变量的相关系数为 \(\rho\)，我们则有：

\[C^{G}{\rho}(u, v) = \phi{\rho}\left( \phi^{-1}(u), ~ \phi^{-1}(v) \right) \]

同时，我们称 \(\left\{ C^{G}_{\rho} : \rho \in [−1, 1] \right\}\) 为 “the family of Gaussian Copulas“。

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Archimedean Copulas

生成器（Generator） \(g\) 是一个在 \([0, 1]\) 上严格递减的函数，且 \(g(1) = 0\)。一个 generator \(g\) 所对应的 Archimedean Copula 记作：

\[C^{A}_{g}(u, v) = g^{-1}\left( g(u) + g(v) \right) \]

其中，当 \(g(0) < \infty\) 时，定义：\(g^{-1}(x) = 0\) for \(\forall x \geq g(0)\)。

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Gumbel

令：

\[g_{\alpha}(u) = (−\log{u})^{\alpha}, \qquad \alpha \in [1, \infty] \]

此时：

\[C_{\alpha}(u, v) = e^{-\left[ (-\log{u})^{\alpha} + (-\log{v})^{\alpha}\right]^\frac{1}{\alpha}} \]

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Clayton

令：

\[g_{\alpha}(u) = \begin{cases} \alpha^{−1} \left( u^{-\alpha} − 1 \right) \qquad \quad \alpha \in \left[−1, 0 \right) \cup \left(0, \infty \right)\
-\log{u} \qquad \qquad \qquad \alpha = 0 \end{cases} \]

那么其对应的 Copula 为：

\[C_{\alpha}(u, v) = \frac{1}{\left[ \max(u^{-\alpha} + v^{-\alpha} - 1, ~ 0) \right]^{\frac{1}{\alpha}}} \qquad \qquad \alpha \in \left[−1, 0 \right) \cup \left(0, \infty \right) \]

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Frank

令：

\[g_{\alpha}(u) = \begin{cases} -\log\left[ \frac{e^{-\alpha u}-1}{e^{-\alpha}-1} \right] \qquad \quad \alpha \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \\ -\log{u} \qquad \qquad \qquad \alpha = 0 \end{cases} \]

那么其对应的 Copula 为：

\[C_{\alpha}(u, v) = -\frac{1}{\alpha} \cdot \log\left[ 1 + \frac{(e^{-\alpha u}-1)(e^{-\alpha v}-1)}{e^{-\alpha}-1} \right] \qquad \qquad \alpha \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\} \]