简介

上篇文章 小白也能看懂的 ROC 曲线详解 介绍了 ROC 曲线。本文介绍 AUC。AUC 的全名为A rea U nder the ROC C urve，即 ROC 曲线下的面积，最大为 1。

根据 ROC 和 AUC 的关系，我们可以得到如下结论

• ROC 曲线接近左上角 —> AUC 接近 1：模型预测准确率很高
• ROC 曲线略高于基准线 —> AUC 略大于 0.5：模型预测准确率一般
• ROC 低于基准线 —> AUC 小于 0.5：模型未达到最低标准，无法使用

二分类 AUC

由 AUC 名称可知，可以先计算 ROC 曲线，得到 TPR 和 FPR 的坐标后再分段计算面积即可得到 AUC

下面是对应的 Python 代码

def auc_from_roc(fpr, tpr):
    """
    计算ROC面积
    fpr: 从小到大排序的fpr坐标
    tpr: 从小到大排序的tpr坐标
    """
    area = 0
    for i in range(len(fpr) - 1):
        area += trapezoid_area(fpr[i], fpr[i + 1], tpr[i], tpr[i + 1])
    return area

def trapezoid_area(x1, x2, y1, y2):
    """
    计算梯形面积
    x1, x2: 横坐标 (x1 <= x2)
    y1, y2: 纵坐标 (y1 <= y2)
    """
    base = x2 - x1
    height_avg = (y1 + y2) / 2
    return base * height_avg

也可以直接从真实标签和模型预测分数中计算 ROC，算法的时间复杂度为\(O(n\log n)\)，参考文献 1 中的算法 2

# import numpy as np
def auc_binary(y_true, y_score, pos_label):
    """
    y_true：真实标签
    y_score：模型预测分数
    pos_label：正样本标签，如“1”
    """
    num_positive_examples = (y_true == pos_label).sum()
    num_negtive_examples = len(y_true) - num_positive_examples

    tp, fp, tp_prev, fp_prev, area = 0, 0, 0, 0, 0
    score = -np.inf

    for i in np.flip(np.argsort(y_score)):
        if y_score[i] != score:
            area += trapezoid_area(fp_prev, fp, tp_prev, tp)
            score = y_score[i]
            fp_prev = fp
            tp_prev = tp

        if y_true[i] == pos_label:
            tp += 1
        else:
            fp += 1

    area += trapezoid_area(fp_prev, fp, tp_prev, tp)
    area /= num_positive_examples * num_negtive_examples

    return area

多分类 AUC

现在考虑多分类的情况，假设类别数为\(C\)。

一种想法是将某一类别设为正样本类别，其余类别设为负样本类别，然后计算二分类下的 AUC。这种方法叫做一对多，即 One-Vs-Rest (OVR)。可以得到\(C\)个二分类的 AUC，然后计算平均数得到多分类的 AUC。

另一种想法是将某一类别设为正样本类别，另外一个类别（非自身）设为负样本类别计算二分类的 AUC。这种方法叫做一对一，即 One-Vs-One (OVO)。可以得到\(C(C-1)\)个二分类的 AUC，然后计算平均数。

当计算平均数时，可以考虑算数平均数（称为 macro），或者加权平均数（称为 weighted）。其中，加权为各类别的样本所占比例。因此，两两组合可以的得到四种计算多分类 AUC 的方法。值得一提的是，知名机器学习库 scikit-learn 的roc_auc_score 函数包含了上述四种方法。

1. 一对多 + 算数平均数（OVR + macro）
2. 一对多 + 加权平均数（OVR + weighted）
3. 一对一 + 算数平均数（OVO + macro）
4. 一对一 + 加权平均数（OVO + weighted）

一对多 + 算数平均数

多分类 AUC 的计算公式为

\[\text{AUC}\text{total}=\frac{1}{C}\sum{c_i\in C}\text{AUC}(c_i) \]

其中\(\text{AUC}(c_i)\)是将类别\(c_i\)作为正样本类别（剩余作为负样本类别），计算的二分类 AUC。

# sklearn.metrics.roc_auc_score(y_true, y_score, average='macro', multi_class='ovr')
def auc_ovr_macro(y_true, y_score):
    auc = 0
    C = max(y_true) + 1

    for i in range(C):
        auc += auc_binary(y_true, y_score[:, i], pos_label=i)

    return auc / C

一对多 + 加权平均数

多分类 AUC 的计算公式为

\[\text{AUC}\text{total}=\sum{c_i\in C}\text{AUC}(c_i)p(c_i) \]

其中，权重\(p(c_i)=\frac{\sum\mathbb{I}\{y=c_i\}}{n}\)，即标签为\(c_i\)的样本所占比例，权重之和为 1。

# sklearn.metrics.roc_auc_score(y_true, y_score, average='weighted', multi_class='ovr')
def auc_ovr_weighted(y_true, y_score):
    auc = 0
    C = max(y_true) + 1
    n = len(y_true)

    for i in range(C):
        p = sum(y_true == i) / n
        auc += auc_binary(y_true, y_score[:, i], pos_label=i) * p

    return auc

一对一 + 算数平均数

多分类 AUC 的计算公式为

\[\text{AUC}\text{total}=\frac{2}{C(C-1)}\sum{\{c_i,c_j\}\in C,
c_i_j}\text{AUC}(c_i,c_j) \]

其中，\(\text{AUC}(c_i,c_j)=\frac{\text{AUC}(c_i｜c_j)+\text{AUC}(c_j｜c_i )}{2}\)。即将\(c_i\)作为正样本类别、\(c_j\)作为负样本类别计算二分类\(\text{AUC}(c_i｜c_j)\)；然后将\(c_j\)作为正样本类别、\(c_i\)作为负样本类别计算二分类\(\text{AUC}(c_j｜c_i)\)。\(\text{AUC}(c_i,c_j)\)为其计算的算数平均值。由于将\(c_i\)和\(c_j\)组合计算，共得到\(C(C-1)/2\) 个二分类 AUC。

# sklearn.metrics.roc_auc_score(y_true, y_score, average='macro', multi_class='ovo')
def auc_ovo_macro(y_true, y_score):
    auc = 0
    C = max(y_true) + 1

    for i in range(C - 1):
        i_index = np.where(y_true == i)[0]
        for j in range(i + 1, C):
            j_index = np.where(y_true == j)[0]
            index = np.concatenate((i_index, j_index))

            auc_i_j = auc_binary(y_true[index], y_score[index, i], pos_label=i)
            auc_j_i = auc_binary(y_true[index], y_score[index, j], pos_label=j)
            auc += (auc_i_j + auc_j_i) / 2

    return auc * 2 / (C * (C - 1))

一对一 + 加权平均数

多分类 AUC 的计算公式为

\[\text{AUC}\text{total}=\sum{\{c_i,c_j\}\in C,
c_i_j}\text{AUC}(c_i,c_j)p(c_i,c_j) \]

其中，权重\(p(c_i,c_j)=\frac{\sum\mathbb{I}\{y=c_i\}+\sum\mathbb{I}\{y=c_j\}}{(C-1)n}\)，即标签为\(c_i\)和\(c_j\)的样本所占比例，分母中的系数\(C-1\)使得权重之和为 1。

# sklearn.metrics.roc_auc_score(y_true, y_score, average='weighted', multi_class='ovo')
def auc_ovo_weighted(y_true, y_score):
    auc = 0
    C = max(y_true) + 1
    n = len(y_true)

    for i in range(C - 1):
        i_index = np.where(y_true == i)[0]
        for j in range(i + 1, C):
            j_index = np.where(y_true == j)[0]
            index = np.concatenate((i_index, j_index))

            p = len(index) / n / (C - 1)
            auc_i_j = auc_binary(y_true[index], y_score[index, i], pos_label=i)
            auc_j_i = auc_binary(y_true[index], y_score[index, j], pos_label=j)
            auc += (auc_i_j + auc_j_i) / 2 * p

    return auc

参考文献

1. Fawcett, Tom. “An introduction to ROC analysis.” Pattern recognition letters 27, no. 8 (2006): 861-874. https://www.researchgate.net/profile/Tom-Fawcett/publication/222511520_Introduction_to_ROC_analysis/links/5ac7844ca6fdcc8bfc7fa47e/Introduction-to-ROC-analysis.pdf
2. Hand, David J., and Robert J. Till. “A simple generalisation of the area under the ROC curve for multiple class classification problems.” Machine learning 45 (2001): 171-186. https://link.springer.com/content/pdf/10.1023/A:1010920819831.pdf

作者：PrimiHub-Kevin